{"id":135,"date":"2021-01-24T21:16:04","date_gmt":"2021-01-24T19:16:04","guid":{"rendered":"http:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/?p=135"},"modified":"2021-01-25T14:22:17","modified_gmt":"2021-01-25T12:22:17","slug":"ensimmaisen-asteen-yhtalot","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/2021\/01\/24\/ensimmaisen-asteen-yhtalot\/","title":{"rendered":"Ensimm\u00e4isen asteen yht\u00e4l\u00f6t"},"content":{"rendered":"\n

T\u00e4m\u00e4 on ensimm\u00e4inen opintoj\u00e4rjest\u00f6n peruskoulutasoisista<\/em> matematiikan artikkeleista. Artikkelissa k\u00e4sitell\u00e4\u00e4n lyhyesti yhden tuntemattoman ensimm\u00e4isen asteen yht\u00e4l\u00f6iden ratkaisutavat ja annetaan esimerkkin\u00e4 Celsius- ja Fahrenheit-l\u00e4mp\u00f6asteikkojen v\u00e4lisen muunnoksen johtaminen. Lopuksi annetaan esimerkki kahden tuntemattoman ja kahden yht\u00e4l\u00f6n yht\u00e4l\u00f6ryhm\u00e4st\u00e4.<\/p>\n\n\n\n

Yht\u00e4l\u00f6 tarkoittaa sit\u00e4, ett\u00e4 on kaksi lauseketta, jotka on todettu yht\u00e4suuriksi. Esimerkiksi $0=0$ tai $1=1$ ovat tosia lauseita, koska molemmat puolet ovat yht\u00e4suuria. Sen sijaan $1=2$ tai $3+5=7$ ovat ep\u00e4tosia lauseita. T\u00e4ss\u00e4 artikkelissa k\u00e4sitell\u00e4\u00e4n yht\u00e4l\u00f6it\u00e4, joissa on l\u00f6ydett\u00e4v\u00e4 sopiva tuntemattoman muuttujan arvo, yleens\u00e4 $x$. Esimerkiksi yht\u00e4l\u00f6n $x+1=10$ ratkaisu on $x=9$, koska $9+1=10$. Voidaan my\u00f6s sanoa, ett\u00e4 $9$ on yht\u00e4l\u00f6n $x+1=10$ juuri.<\/p>\n\n\n\n

Usein yht\u00e4l\u00f6iss\u00e4 esiintyy tuntematon kerrottuna jollakin luvulla tai jaettuna jollakin luvulla. T\u00e4ll\u00f6in yht\u00e4l\u00f6 on mahdollista ratkaista sopivasti kertomalla tai jakamalla. Esimerkiksi:<\/p>\n\n\n\n

Jakaminen<\/h3>\n\n\n\n

$$2\\cdot x=7$$ Jaetaan molemmat puolet kahdella ja saadaan
$$x=\\frac{7}{2}=3,5$$<\/p>\n\n\n\n

Kertominen<\/h3>\n\n\n\n

$$\\frac{x}{3}=4$$ Kerrotaan molemmat puolet kolmella ja saadaan
$$x=12$$<\/p>\n\n\n\n

Kertominen ja jakaminen<\/h3>\n\n\n\n

$$\\frac{2\\cdot x}{3}=1$$ Kerrotaan ensin molemmat puolet kolmella
$$2\\cdot x=3$$ sen j\u00e4lkeen jaetaan viel\u00e4 molemmat puolet kahdella ja saadaan
$$x=\\frac{3}{2}=1,5$$<\/p>\n\n\n\n

Termien siirt\u00e4minen<\/h3>\n\n\n\n

Joskus samaa muuttujaa esiintyy yht\u00e4l\u00f6n molemmilla puolilla eri luvuilla kerrottuna. T\u00e4ll\u00f6in on syyt\u00e4 yhdist\u00e4\u00e4 ne yhdeksi laskemalla yhteen, v\u00e4hent\u00e4m\u00e4ll\u00e4, kertomalla ja jakamalla sopivasti. Aina kun joku termi siirret\u00e4\u00e4n yht\u00e4l\u00f6n puolelta toiselle, on muistettava vaihtaa sen merkki\u00e4. Jos molemmin puolin on murtolauseke, kannattaa kertoa nimitt\u00e4jien yhteisill\u00e4 tekij\u00f6ill\u00e4. Seuraavassa on lyhennetty kertolaskuja niin, ett\u00e4 kertomerkki on j\u00e4tetty n\u00e4ytt\u00e4m\u00e4tt\u00e4, esimerkiksi $2\\cdot x=2x$. On usein j\u00e4rkev\u00e4\u00e4 siirt\u00e4\u00e4 tuntemattoman sis\u00e4lt\u00e4v\u00e4t termit yht\u00e4l\u00f6n vasemmalle puolelle ja vakiot oikealle puolelle.<\/p>\n\n\n\n

Termien siirt\u00e4minen, esimerkki 1:<\/h4>\n\n\n\n

$$
\\begin{eqnarray}
2x+3 & = & 3x-1 \\\\
2x-3x & = & -1-3 \\\\
-x & = & -4 \\\\
x & = & 4
\\end{eqnarray}
$$<\/p>\n\n\n\n

Termien siirt\u00e4minen, esimerkki 2:<\/h4>\n\n\n\n

$$
\\begin{eqnarray}
\\frac{4x+3}{2} & = & \\frac{3x+2}{7} \\\\
4x+3 & = & \\frac{2(3x+2)}{7} \\\\
7(4x+3) & = & 2(3x+2) \\\\
28x+21 & = & 6x+4 \\\\
22x & = & -17 \\\\
x & = & -\\frac{17}{22}
\\end{eqnarray}
$$<\/p>\n\n\n\n

Celsius ja Fahrenheit<\/h3>\n\n\n\n

Celsius-asteikko on yleisesti k\u00e4yt\u00f6ss\u00e4 maailmalla, mutta Fahrenheitin asteikko Yhdysvalloissa. Asteikoilla on kaksi hyvin tunnettua kiintopistett\u00e4, ensinn\u00e4kin veden j\u00e4\u00e4tymispiste normaalipaineessa eli $0{^o C}=32{^o F}$ ja $-40{^o C}=-40{^o F}$. N\u00e4ist\u00e4 voidaan p\u00e4\u00e4tell\u00e4, ett\u00e4 72 asteen haarukka Fahrenheitin asteikolla vastaa 40 asteen haarukkaa Celsiuksen asteikolla, joten jos $x$ on l\u00e4mp\u00f6tila Celsiusta ja $y$ on l\u00e4mp\u00f6tila Fahrenheitia, niin<\/p>\n\n\n\n

$$y=\\frac{72x}{40}+b=\\frac{9x}{5}+b$$<\/p>\n\n\n\n

Yht\u00e4l\u00f6st\u00e4 $0{^o C}=32{^o F}$ saadaankin luontevasti $b=32$, joten Celsius-asteet ovat muutettavissa Fahrenheitin asteiksi kaavalla<\/p>\n\n\n\n

$$y=\\frac{9x}{5}+32$$<\/p>\n\n\n\n

Kertomalla molemmin puolin 5:ll\u00e4 ja siirt\u00e4m\u00e4ll\u00e4 termej\u00e4, voidaan p\u00e4\u00e4tell\u00e4, ett\u00e4 l\u00e4mp\u00f6tiloja Celsius-asteina ($x$) ja Fahrenheit-asteina ($y$) sitoo yht\u00e4l\u00f6<\/p>\n\n\n\n

$$-9x+5y=160$$<\/p>\n\n\n\n

Kaksi tuntematonta muuttujaa<\/h3>\n\n\n\n

Edell\u00e4 tehtiin alkuvaiheessa oletus siit\u00e4, ett\u00e4 Fahrenheit-asteikolla 72 asteen v\u00e4li tarkoitti nimenomaan Celsius-asterikon 40 asteen v\u00e4li\u00e4. T\u00e4ss\u00e4 olisi kuitenkin ollut mahdollista rakentaa ensin kahden muuttujan yht\u00e4l\u00f6ryhm\u00e4<\/p>\n\n\n\n

$$
\\left\\{
\\begin{array}{ccc}
32\\cdot a+b & = & 0 \\\\
(-40)\\cdot a+b & = & -40
\\end{array}
\\right.
$$<\/p>\n\n\n\n

V\u00e4hent\u00e4m\u00e4ll\u00e4 ylemm\u00e4st\u00e4 alempi, olisi saatu $72a=40$, eli $a=\\frac{5}{9}$. Vastaavasti olisi sen j\u00e4lkeen voitu sijoittaa t\u00e4m\u00e4 arvo ylemp\u00e4\u00e4n yht\u00e4l\u00f6\u00f6n, jolloin $\\frac{32\\cdot 5}{9}+b=0$, eli muunnoskaava Fahrenheitin asteikolta Celsiuksen asteikolle kuuluisi $x=\\frac{5y}{9}-\\frac{160}{9}$.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

T\u00e4m\u00e4 on ensimm\u00e4inen opintoj\u00e4rjest\u00f6n peruskoulutasoisista matematiikan artikkeleista. Artikkelissa k\u00e4sitell\u00e4\u00e4n lyhyesti yhden tuntemattoman ensimm\u00e4isen asteen yht\u00e4l\u00f6iden ratkaisutavat ja annetaan esimerkkin\u00e4 Celsius- ja Fahrenheit-l\u00e4mp\u00f6asteikkojen v\u00e4lisen muunnoksen johtaminen. Lopuksi annetaan esimerkki kahden tuntemattoman ja kahden yht\u00e4l\u00f6n yht\u00e4l\u00f6ryhm\u00e4st\u00e4. Yht\u00e4l\u00f6 tarkoittaa sit\u00e4, ett\u00e4 on kaksi lauseketta, jotka on todettu yht\u00e4suuriksi. Esimerkiksi $0=0$ tai $1=1$ ovat…<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":153,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4,5],"tags":[],"class_list":["post-135","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-matematiikka","category-peruskoulu"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/135","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=135"}],"version-history":[{"count":16,"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/135\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":154,"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/135\/revisions\/154"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/media\/153"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=135"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=135"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=135"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}