Kun kuuluisa italialainen matemaatikko Gerolamo Cardano (1501-1576) julkaisi Scipione del Ferron (1465-1526) ja Lodovico Ferrarin (1522-1565) keksim\u00e4t kolmannen ja nelj\u00e4nnen asteen yht\u00e4l\u00f6iden algebralliset ratkaisukaavat, k\u00e4vi ilmeiseksi, ett\u00e4 pelkkiin reaalilukuihin perustuvat kaavat olivat riitt\u00e4m\u00e4tt\u00f6mi\u00e4. Esimerkiksi redusoitumattomien kolmannen asteen yht\u00e4l\u00f6n algebrallisissa juurenotolla ilmaistuissa ratkaisuissa esiintyy aina neli\u00f6juuren ottoja negatiivisista luvuista, vaikka kaikki yht\u00e4l\u00f6n juuret olisivat reaalisia! Itse asiassa kompleksiluvuille olisi ollut tarvetta jo toisen asteen yht\u00e4l\u00f6\u00e4 ratkaistaessa, koska esimerkiksi yht\u00e4l\u00f6ll\u00e4 Kompleksiluvut ovat lukupareja Kompleksiluvun itseisarvo eli moduli on sen et\u00e4isyys origosta, joka voidaan laskea Pythagoraan lauseella: Yleist\u00e4 Kun kuuluisa italialainen matemaatikko Gerolamo Cardano (1501-1576) julkaisi Scipione del Ferron (1465-1526) ja Lodovico Ferrarin (1522-1565) keksim\u00e4t kolmannen ja nelj\u00e4nnen asteen yht\u00e4l\u00f6iden algebralliset ratkaisukaavat, k\u00e4vi ilmeiseksi, ett\u00e4 pelkkiin reaalilukuihin perustuvat kaavat olivat riitt\u00e4m\u00e4tt\u00f6mi\u00e4. Esimerkiksi redusoitumattomien kolmannen asteen yht\u00e4l\u00f6n algebrallisissa juurenotolla ilmaistuissa ratkaisuissa esiintyy aina neli\u00f6juuren ottoja negatiivisista luvuista, vaikka…<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":165,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4,6],"tags":[],"class_list":["post-156","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-matematiikka","category-toinen-aste"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/156","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=156"}],"version-history":[{"count":14,"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/156\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":173,"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/156\/revisions\/173"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/media\/165"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=156"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=156"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=156"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
(1) $$z^2+1=0$$
ei ole reaalisia ratkaisuja. Tuolloin kuitenkin ”kuvitteellisten” juurten olemassaolo sivuutettiin. Sittemmin kehitettiin imaginaariyksikk\u00f6<\/em> $\\hat\\imath$, jolle p\u00e4tee
$$\\hat\\imath^2=-1$$
Ylemp\u00e4n\u00e4 olevan yht\u00e4l\u00f6n (1) juuret ovatkin n\u00e4inollen $z=\\pm\\hat\\imath$. Riippumatta matematiikan oppim\u00e4\u00e4r\u00e4n pituudesta, kompleksilukujen alkeiden osaaminen on eritt\u00e4in hy\u00f6dyllist\u00e4 sek\u00e4 lukiossa ett\u00e4 ammattikoulussa kuten my\u00f6s jatko-opinnoissa.<\/em> Kompleksiluvut tuovat esiin monia matemaattisia yhteyksi\u00e4 funktioiden v\u00e4lill\u00e4, jotka muuten ovat piilossa. Kompleksilukujen ymm\u00e4rt\u00e4minen on tarpeellista esimerkiksi algebrassa, geometriassa, s\u00e4hk\u00f6tekniikassa, ohjelmoinnissa sek\u00e4 \u00e4\u00e4nen- ja kuvank\u00e4sittelyss\u00e4.<\/p>\n\n\n\nKompleksilukujen laskus\u00e4\u00e4nn\u00f6t<\/h2>\n\n\n\n
$$z=x+\\hat\\imath y$$
joissa on reaaliosa $x$ ja imaginaariosa $y$. Kompleksilukuja havainnollistetaan usein koordinaatistossa, jossa reaaliosa on pisteen $x$-koordinaatti ja imaginaariosa pisteen $y$-koordinaatti. Kompleksilukujen summa ja erotus lasketaan laskemalla yhteen tai v\u00e4hent\u00e4m\u00e4ll\u00e4 reaali- ja imaginaariosat toisistaan:
$$
\\begin{array}{ccc}
z_1+z_2 & = & x_1+x_2+\\hat\\imath(y_1+y_2) \\\\
z_1-z_2 & = & x_1-x_2+\\hat\\imath(y_1-y_2)
\\end{array}
$$
Kompleksilukujen kertolasku lasketaan kertomalla vaiheittain muistaen, ett\u00e4 $\\hat\\imath^2=-1$:
$$
z_1 z_2=(x_1+\\hat\\imath y_1)(x_2+\\hat\\imath y_2)=x_1 x_2-y_1 y_2+\\hat\\imath(x_1 y_2+x_2 y_1)
$$
Kompleksilukujen jakolasku olisi mahdollista m\u00e4\u00e4ritell\u00e4 niin, ett\u00e4 ratkaistaisiin kompleksiluvun kertolaskuihin liittyvi\u00e4 lineaarisia yht\u00e4l\u00f6ryhmi\u00e4 l\u00e4ht\u00f6kohtana, ett\u00e4 jos $z_1 z_2=z_3$, niin $z_1=\\frac{z_3}{z_2}$, mutta kun esit\u00e4mme muutaman muun m\u00e4\u00e4ritelm\u00e4n ensin, ratkaisu helpottuu. Toki suosittelemme kaikille kokeilemaan jakolaskun kaavan johtamista my\u00f6s t\u00e4ll\u00e4 tavoin.<\/p>\n\n\n\nItseisarvo (moduli), suuntakulma (argumentti) ja liit\u00e4nn\u00e4inen (kompleksikonjugaatti)<\/h3>\n\n\n\n
$$ |z|=\\sqrt{x^2+y^2} $$
Kompleksiluvun suuntakulma eli argumentti on sen kulma positiiviselta reaaliakselilta vastap\u00e4iv\u00e4\u00e4n p\u00e4in (positiivinen) tai positiiviselta reaaliakselilta my\u00f6t\u00e4p\u00e4iv\u00e4\u00e4n p\u00e4in (negatiivinen). Se lasketaan k\u00e4\u00e4nteisen tangentin avulla:
$$ \\arg(z)=\\arctan\\left(\\frac{y}{x}\\right) $$
Kompleksiluvun konjugaatti m\u00e4\u00e4ritell\u00e4\u00e4n niin, ett\u00e4 reaaliosa pysyy samana, mutta imaginaariosan merkki vaihtuu, eli
$$ \\bar{z}=\\overline{x+\\hat\\imath y}=x-\\hat\\imath y $$
Lasketaan seuraavaksi, mit\u00e4 on $z\\cdot\\bar{z}$. Saadaan $(x+\\hat\\imath y)(x-\\hat\\imath y)=x^2+y^2=|z|^2$. N\u00e4in saadaan my\u00f6s kaava kompleksilukujen jakolaskulle laventamalla nimitt\u00e4j\u00e4n kompleksikonjugaatilla:
$$\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{z_1 \\bar{z_2}}{|z_2|^2}$$<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"