{"id":239,"date":"2021-02-10T21:57:17","date_gmt":"2021-02-10T19:57:17","guid":{"rendered":"http:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/?p=239"},"modified":"2021-02-10T22:02:12","modified_gmt":"2021-02-10T20:02:12","slug":"toisen-asteen-yhtalot","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/2021\/02\/10\/toisen-asteen-yhtalot\/","title":{"rendered":"Toisen asteen yht\u00e4l\u00f6t"},"content":{"rendered":"\n

Ennen t\u00e4m\u00e4n lukemista, on syyt\u00e4 kerrata artikkelit ensimm\u00e4isen asteen yht\u00e4l\u00f6ist\u00e4<\/a> ja kompleksiluvuista<\/a>, mik\u00e4li ne eiv\u00e4t ole etuk\u00e4teen tiedossa. Joissakin tapauksissa toisen asteen yht\u00e4l\u00f6iden sievent\u00e4misess\u00e4 voidaan joutua k\u00e4ytt\u00e4m\u00e4\u00e4n samantapaisia kaavoja kuin ensimm\u00e4isen asteen yht\u00e4l\u00f6iss\u00e4, kuten kertomista, jakamista ja termien siirt\u00e4mist\u00e4 yht\u00e4l\u00f6n puolilta toisille. Lis\u00e4ksi on tilanteita, joissa toisen asteen yht\u00e4l\u00f6ll\u00e4 ei ole reaalijuuria, kuitenkin niiss\u00e4 tilanteissa sill\u00e4 on kompleksinen juuripari. Redusoitumattomissa kolmannen asteen yht\u00e4l\u00f6iss\u00e4 kompleksilukuja tarvitsee kaikkien juurien algebralliseen ilmaisemiseen jopa tilanteissa, joissa yht\u00e4l\u00f6ll\u00e4 on kolme reaalijuurta, vaikka yht\u00e4l\u00f6n kertoimet olisivat reaaliset, mutta se on toisen jutun aihe.<\/p>\n\n\n\n

Ensimm\u00e4isen asteen yht\u00e4l\u00f6it\u00e4 koskevan artikkelin tekniikoilla kaikki toisen asteen yht\u00e4l\u00f6t on mahdollista supistaa seuraavaan normaalimuotoon:<\/p>\n\n\n\n

$$x^2+ax+b=0$$<\/p>\n\n\n\n

Sijoittamalla $x=z-a\/2$, yht\u00e4l\u00f6 supistuu edelleen niin, ett\u00e4 ensimm\u00e4isen asteen termi h\u00e4vi\u00e4\u00e4:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left(z-\\frac{a}{2}\\right)^2+a\\left(z-\\frac{a}{2}\\right)+b=z^2-az+\\frac{a}{4}+az-\\frac{a^2}{2}+b=z^2-\\frac{a^2}{4}+b=0$$<\/p>\n\n\n\n

N\u00e4in ollen yll\u00e4 esitetyn toisen asteen yht\u00e4l\u00f6n ratkaisu saadaan juurenotolla:<\/p>\n\n\n\n

$$
\\begin{eqnarray}
z & = & \\pm\\sqrt{\\frac{a^2}{4}-b} \\\\
x & = & \\frac{-a\\pm\\sqrt{a^2-4b}}{2}
\\end{eqnarray}
$$<\/p>\n\n\n\n

Esimerkkej\u00e4<\/h2>\n\n\n\n

Yht\u00e4l\u00f6n $x^2-3x+2=0$ juuret ovat $x=1$ ja $x=2$. Yht\u00e4l\u00f6 on redusoituva, koska sen juuret ovat rationaalisia ja n\u00e4inollen $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$.<\/p>\n\n\n\n

Yht\u00e4l\u00f6n $x^2-x-1=0$ juuret ovat $x=\\frac{1\\pm\\sqrt{5}}{2}$. T\u00e4m\u00e4 ei ollut redusoituva, mutta sill\u00e4 on kaksi reaalijuurta. T\u00e4m\u00e4 yht\u00e4l\u00f6 esiintyy ratkaistaessa kultaisen leikkauksen suhdetta.<\/p>\n\n\n\n

Yht\u00e4l\u00f6n $x^2+x+1=0$ juuret ovat $x=\\frac{-1\\pm i\\sqrt{3}}{2}$. T\u00e4m\u00e4k\u00e4\u00e4n ei ollut redusoituva ja sill\u00e4 on kaksi kompleksista juurta. N\u00e4ist\u00e4 juurista $\\frac{-1+ i\\sqrt{3}}{2}$ on nimelt\u00e4\u00e4n kolmas yksik\u00f6njuuri ja sit\u00e4 joskus merkit\u00e4\u00e4n symbolilla $\\omega$. T\u00e4t\u00e4 vakiota tarvitaan kolmannen asteen yht\u00e4l\u00f6n ratkaisukaavassa.<\/p>\n\n\n\n

On helppoa kehitt\u00e4\u00e4 toisen asteen yht\u00e4l\u00f6, jolla on halutut kaksi ratkaisua. Toisen asteen yht\u00e4l\u00f6, jonka juuret ovat $x_1$ ja $x_2$ voidaan muodostaa polynomien tulon avulla seuraavasti:<\/p>\n\n\n\n

$$(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1 x_2=0$$<\/p>\n\n\n\n

Samalla n\u00e4hd\u00e4\u00e4n, ett\u00e4 ylemp\u00e4n\u00e4 olevassa toisen asteen yht\u00e4l\u00f6n muodossa voidaan p\u00e4\u00e4tell\u00e4, ett\u00e4 $x_1+x_2=-a$ ja $x_1 x_2=b$. Toisen asteen yht\u00e4l\u00f6\u00e4 voidaan k\u00e4ytt\u00e4\u00e4 ratkaistaessa ongelmia, joissa tiedet\u00e4\u00e4n kahden muuttujan summa ja tulo.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Ennen t\u00e4m\u00e4n lukemista, on syyt\u00e4 kerrata artikkelit ensimm\u00e4isen asteen yht\u00e4l\u00f6ist\u00e4 ja kompleksiluvuista, mik\u00e4li ne eiv\u00e4t ole etuk\u00e4teen tiedossa. Joissakin tapauksissa toisen asteen yht\u00e4l\u00f6iden sievent\u00e4misess\u00e4 voidaan joutua k\u00e4ytt\u00e4m\u00e4\u00e4n samantapaisia kaavoja kuin ensimm\u00e4isen asteen yht\u00e4l\u00f6iss\u00e4, kuten kertomista, jakamista ja termien siirt\u00e4mist\u00e4 yht\u00e4l\u00f6n puolilta toisille. Lis\u00e4ksi on tilanteita, joissa toisen asteen yht\u00e4l\u00f6ll\u00e4 ei…<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":244,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4,6],"tags":[],"class_list":["post-239","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-matematiikka","category-toinen-aste"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/239","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=239"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/239\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":245,"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/239\/revisions\/245"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/media\/244"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=239"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=239"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/tslespoo.fi\/wordpress\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=239"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}