Ensimmäisen asteen yhtälöt

Tämä on ensimmäinen opintojärjestön peruskoulutasoisista matematiikan artikkeleista. Artikkelissa käsitellään lyhyesti yhden tuntemattoman ensimmäisen asteen yhtälöiden ratkaisutavat ja annetaan esimerkkinä Celsius- ja Fahrenheit-lämpöasteikkojen välisen muunnoksen johtaminen. Lopuksi annetaan esimerkki kahden tuntemattoman ja kahden yhtälön yhtälöryhmästä.

Yhtälö tarkoittaa sitä, että on kaksi lauseketta, jotka on todettu yhtäsuuriksi. Esimerkiksi $0=0$ tai $1=1$ ovat tosia lauseita, koska molemmat puolet ovat yhtäsuuria. Sen sijaan $1=2$ tai $3+5=7$ ovat epätosia lauseita. Tässä artikkelissa käsitellään yhtälöitä, joissa on löydettävä sopiva tuntemattoman muuttujan arvo, yleensä $x$. Esimerkiksi yhtälön $x+1=10$ ratkaisu on $x=9$, koska $9+1=10$. Voidaan myös sanoa, että $9$ on yhtälön $x+1=10$ juuri.

Usein yhtälöissä esiintyy tuntematon kerrottuna jollakin luvulla tai jaettuna jollakin luvulla. Tällöin yhtälö on mahdollista ratkaista sopivasti kertomalla tai jakamalla. Esimerkiksi:

Jakaminen

$$2\cdot x=7$$ Jaetaan molemmat puolet kahdella ja saadaan
$$x=\frac{7}{2}=3,5$$

Kertominen

$$\frac{x}{3}=4$$ Kerrotaan molemmat puolet kolmella ja saadaan
$$x=12$$

Kertominen ja jakaminen

$$\frac{2\cdot x}{3}=1$$ Kerrotaan ensin molemmat puolet kolmella
$$2\cdot x=3$$ sen jälkeen jaetaan vielä molemmat puolet kahdella ja saadaan
$$x=\frac{3}{2}=1,5$$

Termien siirtäminen

Joskus samaa muuttujaa esiintyy yhtälön molemmilla puolilla eri luvuilla kerrottuna. Tällöin on syytä yhdistää ne yhdeksi laskemalla yhteen, vähentämällä, kertomalla ja jakamalla sopivasti. Aina kun joku termi siirretään yhtälön puolelta toiselle, on muistettava vaihtaa sen merkkiä. Jos molemmin puolin on murtolauseke, kannattaa kertoa nimittäjien yhteisillä tekijöillä. Seuraavassa on lyhennetty kertolaskuja niin, että kertomerkki on jätetty näyttämättä, esimerkiksi $2\cdot x=2x$. On usein järkevää siirtää tuntemattoman sisältävät termit yhtälön vasemmalle puolelle ja vakiot oikealle puolelle.

Termien siirtäminen, esimerkki 1:

$$
\begin{eqnarray}
2x+3 & = & 3x-1 \\
2x-3x & = & -1-3 \\
-x & = & -4 \\
x & = & 4
\end{eqnarray}
$$

Termien siirtäminen, esimerkki 2:

$$
\begin{eqnarray}
\frac{4x+3}{2} & = & \frac{3x+2}{7} \\
4x+3 & = & \frac{2(3x+2)}{7} \\
7(4x+3) & = & 2(3x+2) \\
28x+21 & = & 6x+4 \\
22x & = & -17 \\
x & = & -\frac{17}{22}
\end{eqnarray}
$$

Celsius ja Fahrenheit

Celsius-asteikko on yleisesti käytössä maailmalla, mutta Fahrenheitin asteikko Yhdysvalloissa. Asteikoilla on kaksi hyvin tunnettua kiintopistettä, ensinnäkin veden jäätymispiste normaalipaineessa eli $0{^o C}=32{^o F}$ ja $-40{^o C}=-40{^o F}$. Näistä voidaan päätellä, että 72 asteen haarukka Fahrenheitin asteikolla vastaa 40 asteen haarukkaa Celsiuksen asteikolla, joten jos $x$ on lämpötila Celsiusta ja $y$ on lämpötila Fahrenheitia, niin

$$y=\frac{72x}{40}+b=\frac{9x}{5}+b$$

Yhtälöstä $0{^o C}=32{^o F}$ saadaankin luontevasti $b=32$, joten Celsius-asteet ovat muutettavissa Fahrenheitin asteiksi kaavalla

$$y=\frac{9x}{5}+32$$

Kertomalla molemmin puolin 5:llä ja siirtämällä termejä, voidaan päätellä, että lämpötiloja Celsius-asteina ($x$) ja Fahrenheit-asteina ($y$) sitoo yhtälö

$$-9x+5y=160$$

Kaksi tuntematonta muuttujaa

Edellä tehtiin alkuvaiheessa oletus siitä, että Fahrenheit-asteikolla 72 asteen väli tarkoitti nimenomaan Celsius-asterikon 40 asteen väliä. Tässä olisi kuitenkin ollut mahdollista rakentaa ensin kahden muuttujan yhtälöryhmä

$$
\left\{
\begin{array}{ccc}
32\cdot a+b & = & 0 \\
(-40)\cdot a+b & = & -40
\end{array}
\right.
$$

Vähentämällä ylemmästä alempi, olisi saatu $72a=40$, eli $a=\frac{5}{9}$. Vastaavasti olisi sen jälkeen voitu sijoittaa tämä arvo ylempään yhtälöön, jolloin $\frac{32\cdot 5}{9}+b=0$, eli muunnoskaava Fahrenheitin asteikolta Celsiuksen asteikolle kuuluisi $x=\frac{5y}{9}-\frac{160}{9}$.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista.