Kompleksiluvut

Yleistä

Kun kuuluisa italialainen matemaatikko Gerolamo Cardano (1501-1576) julkaisi Scipione del Ferron (1465-1526) ja Lodovico Ferrarin (1522-1565) keksimät kolmannen ja neljännen asteen yhtälöiden algebralliset ratkaisukaavat, kävi ilmeiseksi, että pelkkiin reaalilukuihin perustuvat kaavat olivat riittämättömiä. Esimerkiksi redusoitumattomien kolmannen asteen yhtälön algebrallisissa juurenotolla ilmaistuissa ratkaisuissa esiintyy aina neliöjuuren ottoja negatiivisista luvuista, vaikka kaikki yhtälön juuret olisivat reaalisia! Itse asiassa kompleksiluvuille olisi ollut tarvetta jo toisen asteen yhtälöä ratkaistaessa, koska esimerkiksi yhtälöllä
(1) $$z^2+1=0$$
ei ole reaalisia ratkaisuja. Tuolloin kuitenkin ”kuvitteellisten” juurten olemassaolo sivuutettiin. Sittemmin kehitettiin imaginaariyksikkö $\hat\imath$, jolle pätee
$$\hat\imath^2=-1$$
Ylempänä olevan yhtälön (1) juuret ovatkin näinollen $z=\pm\hat\imath$. Riippumatta matematiikan oppimäärän pituudesta, kompleksilukujen alkeiden osaaminen on erittäin hyödyllistä sekä lukiossa että ammattikoulussa kuten myös jatko-opinnoissa. Kompleksiluvut tuovat esiin monia matemaattisia yhteyksiä funktioiden välillä, jotka muuten ovat piilossa. Kompleksilukujen ymmärtäminen on tarpeellista esimerkiksi algebrassa, geometriassa, sähkötekniikassa, ohjelmoinnissa sekä äänen- ja kuvankäsittelyssä.

Kompleksilukujen laskusäännöt

Kompleksiluvut ovat lukupareja
$$z=x+\hat\imath y$$
joissa on reaaliosa $x$ ja imaginaariosa $y$. Kompleksilukuja havainnollistetaan usein koordinaatistossa, jossa reaaliosa on pisteen $x$-koordinaatti ja imaginaariosa pisteen $y$-koordinaatti. Kompleksilukujen summa ja erotus lasketaan laskemalla yhteen tai vähentämällä reaali- ja imaginaariosat toisistaan:
$$
\begin{array}{ccc}
z_1+z_2 & = & x_1+x_2+\hat\imath(y_1+y_2) \\
z_1-z_2 & = & x_1-x_2+\hat\imath(y_1-y_2)
\end{array}
$$
Kompleksilukujen kertolasku lasketaan kertomalla vaiheittain muistaen, että $\hat\imath^2=-1$:
$$
z_1 z_2=(x_1+\hat\imath y_1)(x_2+\hat\imath y_2)=x_1 x_2-y_1 y_2+\hat\imath(x_1 y_2+x_2 y_1)
$$
Kompleksilukujen jakolasku olisi mahdollista määritellä niin, että ratkaistaisiin kompleksiluvun kertolaskuihin liittyviä lineaarisia yhtälöryhmiä lähtökohtana, että jos $z_1 z_2=z_3$, niin $z_1=\frac{z_3}{z_2}$, mutta kun esitämme muutaman muun määritelmän ensin, ratkaisu helpottuu. Toki suosittelemme kaikille kokeilemaan jakolaskun kaavan johtamista myös tällä tavoin.

Itseisarvo (moduli), suuntakulma (argumentti) ja liitännäinen (kompleksikonjugaatti)

Kompleksiluvun itseisarvo eli moduli on sen etäisyys origosta, joka voidaan laskea Pythagoraan lauseella:
$$ |z|=\sqrt{x^2+y^2} $$
Kompleksiluvun suuntakulma eli argumentti on sen kulma positiiviselta reaaliakselilta vastapäivään päin (positiivinen) tai positiiviselta reaaliakselilta myötäpäivään päin (negatiivinen). Se lasketaan käänteisen tangentin avulla:
$$ \arg(z)=\arctan\left(\frac{y}{x}\right) $$
Kompleksiluvun konjugaatti määritellään niin, että reaaliosa pysyy samana, mutta imaginaariosan merkki vaihtuu, eli
$$ \bar{z}=\overline{x+\hat\imath y}=x-\hat\imath y $$
Lasketaan seuraavaksi, mitä on $z\cdot\bar{z}$. Saadaan $(x+\hat\imath y)(x-\hat\imath y)=x^2+y^2=|z|^2$. Näin saadaan myös kaava kompleksilukujen jakolaskulle laventamalla nimittäjän kompleksikonjugaatilla:
$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1 \bar{z_2}}{|z_2|^2}$$