Toisen asteen yhtälöt

Ennen tämän lukemista, on syytä kerrata artikkelit ensimmäisen asteen yhtälöistä ja kompleksiluvuista, mikäli ne eivät ole etukäteen tiedossa. Joissakin tapauksissa toisen asteen yhtälöiden sieventämisessä voidaan joutua käyttämään samantapaisia kaavoja kuin ensimmäisen asteen yhtälöissä, kuten kertomista, jakamista ja termien siirtämistä yhtälön puolilta toisille. Lisäksi on tilanteita, joissa toisen asteen yhtälöllä ei ole reaalijuuria, kuitenkin niissä tilanteissa sillä on kompleksinen juuripari. Redusoitumattomissa kolmannen asteen yhtälöissä kompleksilukuja tarvitsee kaikkien juurien algebralliseen ilmaisemiseen jopa tilanteissa, joissa yhtälöllä on kolme reaalijuurta, vaikka yhtälön kertoimet olisivat reaaliset, mutta se on toisen jutun aihe.

Ensimmäisen asteen yhtälöitä koskevan artikkelin tekniikoilla kaikki toisen asteen yhtälöt on mahdollista supistaa seuraavaan normaalimuotoon:

$$x^2+ax+b=0$$

Sijoittamalla $x=z-a/2$, yhtälö supistuu edelleen niin, että ensimmäisen asteen termi häviää:

$$\left(z-\frac{a}{2}\right)^2+a\left(z-\frac{a}{2}\right)+b=z^2-az+\frac{a}{4}+az-\frac{a^2}{2}+b=z^2-\frac{a^2}{4}+b=0$$

Näin ollen yllä esitetyn toisen asteen yhtälön ratkaisu saadaan juurenotolla:

$$
\begin{eqnarray}
z & = & \pm\sqrt{\frac{a^2}{4}-b} \\
x & = & \frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}
\end{eqnarray}
$$

Esimerkkejä

Yhtälön $x^2-3x+2=0$ juuret ovat $x=1$ ja $x=2$. Yhtälö on redusoituva, koska sen juuret ovat rationaalisia ja näinollen $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$.

Yhtälön $x^2-x-1=0$ juuret ovat $x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$. Tämä ei ollut redusoituva, mutta sillä on kaksi reaalijuurta. Tämä yhtälö esiintyy ratkaistaessa kultaisen leikkauksen suhdetta.

Yhtälön $x^2+x+1=0$ juuret ovat $x=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$. Tämäkään ei ollut redusoituva ja sillä on kaksi kompleksista juurta. Näistä juurista $\frac{-1+ i\sqrt{3}}{2}$ on nimeltään kolmas yksikönjuuri ja sitä joskus merkitään symbolilla $\omega$. Tätä vakiota tarvitaan kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavassa.

On helppoa kehittää toisen asteen yhtälö, jolla on halutut kaksi ratkaisua. Toisen asteen yhtälö, jonka juuret ovat $x_1$ ja $x_2$ voidaan muodostaa polynomien tulon avulla seuraavasti:

$$(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1 x_2=0$$

Samalla nähdään, että ylempänä olevassa toisen asteen yhtälön muodossa voidaan päätellä, että $x_1+x_2=-a$ ja $x_1 x_2=b$. Toisen asteen yhtälöä voidaan käyttää ratkaistaessa ongelmia, joissa tiedetään kahden muuttujan summa ja tulo.